GROB's basic electronics 회로 이론-8.회로망정리(테브낭정리)

테브낭 정리는 회로 망내의 미지 전압과 전류값들을 해석하는 과정을 단순화하는데 매우 유용하게 사용된다. 테브낭 정리에 의해 많은 전원과 부품들은 어떻게 연결되어 있든지 간에 회로 망내의 어느 두단 자에 대한 등가의 직렬회로로 표현 가능하다. 아래 회로 그림에서  왼쪽에 있는 블록은 A와 B단자에 연결된 회로망을 포함하고  있다고 가정하자. 테브낭 정리에 의해  A와 B에 연결된 전체 회로망은 저항 R(TH) 1개와 직렬인 전압원 V(TH) 1개가 동일한 두단 자에 연결된 회로로 대치될 수 있다.

전압 V(TH)는 단자 A와 B 양단에 걸리는 개방 회로의 전압이다. 이 전압을 구하는 방법은 A와 B사이를 개방하고 두단 자에 걸리는 전압을 측정한다. V(TH)의 극성은 원래의 회로망과 같은 방향으로 A에서 B로 전류가 흐른다 생각한다. 저항 R(TH)는 단자 A와 B 사이의 개방 회로 저항이지만 모든 전원을 제거한 상태에서 구한 저항이다. 이는 단자 A와 B에서 회로망을 향하여 들여다본 저항을 말한다 비록 두단 자가 개방되었지만 저항계로 AB사이를 측정하여 R(TH)를 얻을 수 있는데, 이 저항은 전원을 제거한 회로망의 저항값이다.

 

회로를 테브낭 화하기

위 회로 그림을 보자 여기서 2Ω의 R(L)에 걸리는 전압과 V(L)과 이 저항에 흐르는 전류 I(L)을 구하려 한다. 테브낭 정리를 적용하기 위해 마음속으로 R(L)을 제거해보자 그러면  아래 회로 그림처럼 단자 A와 B가  개방된다. 이제 A와 B에  여전히 연결되어 있는 나머지 회로에 대한 테브낭 등가 회로를 구한다. 일반적으로 분석할 회로 부분을 개방하고  2개의 개방 단자에 연결된다 나머지 회로를 "테브낭화" 한다

 

이제 AB에 걸리는 개방 회로 전압 V(TH)와 등가 저항 R(TH)를 구하면 된다. 테브낭 등가 회로는 항상 위 그림처럼 저항한 개에 직렬로 연결된 전압원 1개로 구성된다

R(L)을 개방한 결과는 위 회로 그림에 나타내어있다 결과 적으로 3Ω의 R1과 6Ω의 R2는 R(L)을 제거한 상태에서 직렬 전압 분배기 꼴을 나타낸다.  더욱이 R2에 걸리는 전압은 이제 A와 B단자에 걸리는 개방 회로 전압과 같다. 그러므로 R(L)을 개방했을 때의 V(R2)는 V(AB)와 같다 이것이 테브낭 등가 회로에서 필요한 V(TH)이다. 전압분배식을 사용하면 

이 전압은  단자 A가 (+)가  된다. R(TH)를 구하기 위해 여전히 2Ω의 R(L)을 연결하지 않은 상태로 전원 V를 단락 시킨다. 그런 후의 회로는 아래 회로 그림과 같게 된다. 동일 한두 점 사이에  두 저항이 연결되어 있기 때문에 3Ω의 R1과 6Ω의 R2는 병렬이다. 이합 성저항은 R1과 R2의 곱을 R1과 R2의 합으로 나누어 구한다.

다시 내부 저항이 0 인 이상 적인 전압을 가정한다. 아래  회로 그림에 보인 것처럼 A와 B 단자의 왼쪽에  있는 테브낭 회로는 2Ω인 등가 직렬 저항 R(TH)와 24V 인 등가 저항 V(TH)가 직렬연결된 회로이다. 이 테브낭 등가 회로에는  R(L)이 연결되지 않은 상태이므로 어떤 값의 R(L)에 대해서도 동일하게 적용할 수 있다. 실제 AB 단자를 개방한 회로를 테브낭 화하고 있다.

V(L)과 I(L)를 구하기 위해  마지막으로 아래 그림처럼 테브낭 회로의 A와 B 단자에 R(L)을 다시 연결한다.  그러면 R(L)은 R(TH)하고 V(TH)와  직렬이 된다. 2Ω의 R(TH)와 2Ω의 R(L)에  전압 분배 공식을 적용하면 V(L)=1/2 X 24=12V I(L)은 V(L)/R(L)로 구하는데 12V/2Ω으로 6A이다

 I(L)이 6A이고 V(L)이 12V인 결과를 아래 회로 그림의 두 회로에  있는 R(L)에 모두 적용한다 6A인 I(L)은 또한 R(TH)에도 흐른다는 것을  기억해야 한다.

(a)의  직 병렬회로를 옴의 법칙을 사용하여 풀면 동일한 결과를 얻을 수 있다. 그러나 회로를 테브낭 화해서 얻어지는 장점은 여러 값의 R(L)에 대해 계산을 쉽게 할 수 있다는 것이다. R(L)이 4Ω으로 변했다 하자 테브낭 회로에서 V(L)을 새로 계산하면  그 값은 4/6 X 24=16V 일 것이다. I(L)은 16V/4Ω으로 4A가 된다. 원래의 회로에 옴의 법칙을 사용하면 R(L) 바뀔 때마다 새로 계산을 해야 한다.

 

단자 A와 B에서 반대편으로 바라보기

직 병렬회로의 저항을 바라보는 방법은 전원이 어디에 연결되는가에  달려 있다. 일반적으로 회로의 바깥 단자로부터 전원을 향해서 전체 저항을 계산해간다. 테브낭 회로를 구할 때 전원을 단락 시키면 단자 A와 B가 기준이 된다. R(TH)를 구하기 위해 A와 B에서 반대편으로 바라보는 이런 상황은 V(TH)를 구하기 위해 보는 방식과는 반대가 된다. R(TH)를 구하려면 전원이 AB 양단에 연결되어 있다고 가정하고 전원에서 먼 쪽부터 A와 B 단자를 향하여  총저항을 계산한다. 실제로 A와 B단자에 저항계를 연결하면 이 저항을 가리키게 된다. 이렇게 기준을 반대로 하는 개념을 아래 그림에 나타내었다 그림 (a)의 회로는  단자  A와 B를 개방하고 테브낭화 하려는 회로이다. 이 회로는  위 예제와 비슷하나 4Ω의 R3이 R2와 단자 A 사이에 있는 것이 다르다. 흥미로운 점은 R3은 전원 V에 따른 V(AB)의 값을 변경하지 못하나 R(TH)의 값은 증가시킨다는 것이다. 단자 A와 B에서 반대편으로 바라볼 때 4Ω의 R3과 2Ω의 직렬이 합성되어 6Ω의 R(TH)가 된다 V(TH)가 R3과 관계없이 똑같은 24V인 이유를 생각해보자 R3이 개방 단자 A에 연결되어 있기 때문에  전원 V에는 R3에 전류를 흘릴 수 없다. 그러므로 R3에는 전압강하가 없다  전압계는 R2에 걸리는 전압과 A에서 B까지의 전압 모두 동일하게 24V를 가리킨다 V(AB)가 24V이기 때문에 V(TH)의 값은 24V이다. 이제 R3으로 인해 R(TH) 값이 변화하는 이유를 살펴보자 총저항을 계산하려면 바깥쪽에서 안쪽으로 계산해야 한다는 것을 기억하라 그때 A와 B를 전원 단자처럼 생각한다 결과적으로 3Ω의 R1과 6Ω의 R2는 병렬이 되어 합성 저항은 2옴이 된다. 더욱이 이 2Ω은 단자 A와 B에서 볼 때 4Ω의 R3와 직렬로 연결되어있다. 이제 R(TH)는 2+4=6Ω이다 (C)에 보인 것처럼 테브낭 등가 회로에서 V(TH)=24V이고 R(TH)=6Ω이다.